Intuição Estatística

Bom, este não seria um blog de divulgação científica de ciências exatas se eu não tentasse, ao menos uma vez, falar com alguma propriedade sobre uma área correlata, mas fora do escopo do meu domínio. A ideia deste post é conversar sobre estatística e psicologia. Apesar das fontes, ainda é um terreno que não domino, então vou me apoiar nelas ao máximo para não fazer nenhuma afirmação infundada.

O caso Sally Clark e a falácia do promotor

Para embasar a discussão, vamos começar com o caso clássico de Sally Clark e a famigerada falácia do promotor, em que dois erros estatísticos foram cometidos, de forma abrangente, ao longo de um julgamento, por praticamente todos os presentes, do júri ao juiz.

Considerou-se que a chance de um recém-nascido sofrer morte súbita (dado o histórico da mãe: mais de 26 anos, não fumante) era de cerca de 1 em 8 mil e que, consequentemente, a chance de isso acontecer com os dois bebês de Sally Clark seria de 1 em 73 milhões. Aqui já temos o primeiro erro, um clássico da estatística: assumir a independência dos dados.

A chance de um recém-nascido ser acometido por isso pode até ser de 1 em 8 mil, mas essa estatística serve para embasar a compreensão da área sobre um determinado assunto (estatística a priori). Ela não serve para avaliar a chance de algo ter acontecido, dado que o evento já ocorreu (estatística a posteriori). Ao avaliar um caso individual, podem existir outros n fatores (grupo de risco, histórico familiar, entre outros) que aumentariam ou diminuiriam essa estatística naquele caso específico.

De forma ainda mais grave, ao analisar dois irmãos, não se pode simplesmente multiplicar os números, porque a independência aqui não só não é garantida como simplesmente não existe: diversos fatores que indicariam a morte súbita em uma das crianças tendem a se repetir na segunda. Assim, a probabilidade "real" (considerando a estatística média usada para descrever a população, mas que não necessariamente descreve casos particulares) seria algo entre 1 em 150 mil e 1 em 350 mil, cerca de 100 vezes menor que a estatística inicial.

Ainda assim, esses valores, sozinhos, não dizem nada. Estatísticas são apenas números que descrevem eventos. O uso deles é feito por especialistas para compreender fenômenos. E é aqui que chegamos ao segundo problema: a falácia do promotor.

Ao apresentar o número (1 em 73 milhões) à corte, o júri compreendeu, automaticamente, que a chance de Sally ser inocente era justamente a chance de aqueles eventos raros acontecerem, pois, caso contrário, ela teria, sim, matado ambos. A estatística não diz isso. Ela diz muito menos do que isso. Mesmo que aceitemos o número como verdadeiro, a probabilidade de ambas as crianças morrerem, dado que ela é inocente (1 em 73 milhões), não é a probabilidade que interessa. A que interessa é a probabilidade de Sally ser inocente dado que ambas as crianças morreram, e, pela matemática, a diferença é enorme.

A estrutura correta seria:

• H = Clark é culpada
• ¬H = Clark é inocente
• E = a evidência observada: ambos os filhos morreram na infância, nesse padrão

$$P(\neg H \mid E) = \frac{P(E \mid \neg H)\, P(\neg H)}{P(E \mid \neg H)\, P(\neg H) + P(E \mid H)\, P(H)}$$

Além disso, analisar o número de um evento raro sem nenhuma referência também poderia, sozinho, ter levado o júri ao erro. Ainda que seja raro o caso de essa síndrome ocorrer duas vezes, é ainda mais raro o caso de uma mãe assassinar os próprios dois bebês, sendo essa segunda probabilidade de 4 a 9 vezes mais rara. No fim das contas, o homicídio seria um evento menos provável do que a morte de duas crianças da mesma família por esse tipo de síndrome.

Probabilidade e aritmética são a mesma lei, vista de longe

• P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
• P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

Essas duas linhas são a adição e a multiplicação, totalmente generalizadas. A aritmética comum (a+b, a×b) é o que sobra quando os termos de correção desaparecem: quando A∩B = ∅ (disjuntos), ou quando P(B|A) = P(B) (independentes).

O motivo pelo qual os números comuns ganham isso "de graça" não é porque satisfazem independência ou disjunção por alguma suposição padrão. É porque números nunca foram eventos em um espaço amostral, para começo de conversa. Sobreposição e condicionamento são propriedades de conjuntos de possibilidades. Um número isolado como 5 não representa uma fatia de um espaço amostral, então a pergunta "isso se sobrepõe a outra coisa?" sequer se aplica. Não há termo de correção a eliminar, porque nunca houve termo de correção presente.

A imagem correta, portanto, não é a de aninhamento (a aritmética como um subconjunto que vive dentro da probabilidade). É a de degeneração: as leis da probabilidade são o caso geral, e a aritmética é o que resulta quando se remove a única coisa que tornava os termos de correção necessários, ou seja, um espaço amostral compartilhado onde eventos podem se sobrepor ou influenciar uns aos outros. Remova-se essa estrutura, e P(A)+P(B) simplesmente vira a+b, e P(A)×P(B) simplesmente vira a×b.

A parte científica: a falácia da taxa básica

Indo para a parte mais científica dessa compreensão, temos exemplos como a pesquisa de Bar-Hillel sobre a falácia da taxa básica. Ela não ocorre porque as pessoas não sabem matemática, ou porque são incapazes de integrar duas fontes de informação. O que acontece, na verdade, é que as pessoas descartam as taxas básicas porque sentem que elas devem ser ignoradas por serem irrelevantes para o julgamento em questão. Dois fatores principais tornam uma informação "altamente relevante":

• Especificidade: informações sobre um subconjunto menor e mais específico dominam estatísticas de uma população geral.
• Causalidade: dados que sugerem uma relação de causa e efeito dominam dados que parecem mera coincidência estatística.

O problema do táxi é o exemplo mais famoso usado para ilustrar a falácia. Os participantes recebiam o seguinte cenário:

• Numa cidade, 85% dos táxis são da empresa Azul e 15% da empresa Verde.
• Um táxi se envolve em um acidente noturno e foge. Uma testemunha afirma que o táxi era Verde.
• Testes mostram que a testemunha tem 80% de precisão ao identificar cores à noite.

A maioria das pessoas responde algo perto de 80%, apegando-se à palavra da testemunha e ignorando por completo que os táxis verdes são raros. Feita a conta com o teorema de Bayes, porém, a probabilidade de o táxi ser mesmo verde é de apenas 41%.

Ainda na mesma pesquisa, Bar-Hillel demonstra que as pessoas são capazes de usar a taxa básica, desde que ela pareça tão relevante quanto a informação do caso. De forma semelhante, há o "problema do interfone", uma versão análoga ao problema do táxi:

• Em vez de uma testemunha, o pedestre atropelado ouviu o som de um interfone de táxi.
• Foi informado que os interfones estão instalados em 80% dos táxis Verdes e em 20% dos Azuis.

Aqui não há testemunha causal, apenas duas distribuições estatísticas. Ao colocar a taxa básica dos táxis contra o indicador dos interfones, a falácia da taxa básica desapareceu. Como nenhuma das informações pareceu mais causal ou específica que a outra, as pessoas passaram a integrar as duas. A mediana das respostas foi de 48%, notavelmente próxima da resposta correta de 41%.

O erro a priori vs. a posteriori

Se um evento já aconteceu, ele, por definição, tem 100% de probabilidade de ter ocorrido. Por exemplo: os dois filhos de Sally Clark morreram, isso é um fato. A probabilidade do fato consumado é 1, ponto. Diante de algo já ocorrido, não perguntamos "quão surpreendente esse evento era antes de eu saber que aconteceu?". A pergunta que geralmente vem à mente é: "isso é raro demais para ser coincidência?", e respondemos olhando para trás, com o resultado já na mão. Estamos misturando a estatística a priori (a que descreve o mundo antes de o dado cair) com a leitura a posteriori, feita depois, quando já sabemos onde ele caiu.

O viés de retrospectiva, que Fischhoff documentou em 1975, diz que, uma vez que sabemos o fim de uma história, superestimamos o quanto aquele final era previsível desde o começo. Usando o caso inicial como base: depois que duas crianças morreram, o júri reorganiza silenciosamente todo o passado em torno desse desfecho, e o que era um encadeamento trágico e improvável de eventos naturais passa a parecer um plano. O resultado conhecido contamina a estimativa do que era plausível antes de ele existir.

Foi exatamente essa a armadilha em que o júri de Sally Clark caiu. O número de 1 em 73 milhões media, na melhor das hipóteses, o quanto duas mortes daquelas seriam surpreendentes num mundo em que ninguém matou ninguém. Um evento pode ser raríssimo e inocente ao mesmo tempo. Aliás, o próprio assassinato de dois bebês pela mãe é um evento raríssimo, e, em alguns cálculos, ainda mais raro.

Onde mais esse erro se esconde

Falácia do jogador. A roleta caiu no vermelho cinco vezes seguidas, então "agora vem o preto". Não vem. A roleta não tem memória. Só a sua cabeça tem.

Hot hand. O jogador de basquete acertou quatro seguidas: "está pegando fogo, passa pra ele". Às vezes há algo real ali. Às vezes é só a nossa mania de ver padrão em uma sequência aleatória.

E talvez o exemplo mais cotidiano de todos seja o embaralhamento do Spotify. No começo, o aplicativo embaralhava as músicas com um algoritmo genuinamente aleatório: uma permutação uniforme, do tipo Fisher-Yates, em que qualquer ordem possível tinha exatamente a mesma chance de sair. Estatisticamente, era o "shuffle" mais correto que se poderia pedir. O problema é que, numa sequência de fato aleatória, é perfeitamente normal que duas ou três faixas do mesmo artista caiam coladas, ou que a mesma banda reapareça poucos minutos depois. Esse é o comportamento esperado do acaso, mas, ao ouvirmos o mesmo artista repetido, concluímos, com toda a convicção, que "o shuffle está quebrado" ou que "não é aleatório de verdade".

A saída do Spotify foi tornar o embaralhamento deliberadamente menos aleatório. Em vez de sortear qualquer ordem com igual probabilidade, o algoritmo passou a espalhar as músicas de cada artista ao longo da playlist, evitando que faixas parecidas ficassem próximas, numa abordagem inspirada em métodos de dispersão de cores, como o de Martin Fiedler. O resultado é uma sequência que, do ponto de vista matemático, é mais organizada e menos aleatória, mas que soa muito mais "aleatória" para quem escuta.

Nós esperamos que o acaso se distribua de forma uniforme e regular, e, quando ele forma grumos (como o acaso de verdade sempre faz), lemos padrão, intenção ou defeito onde só existe sorte. Do tribunal ao aplicativo de música, o erro é o mesmo: confundir aquilo que a aleatoriedade realmente produz com aquilo que a nossa intuição gostaria que ela produzisse.

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